مجموع الزوايا الداخلية للمضلع المحدب يساوي: عدد الأضلاع ناقص اثنين، ثم ضرب الناتج في 180 درجة. أما قياس الزاوية الداخلية الواحدة في المضلع المنتظم، فيساوي ذلك المجموع مقسومًا على عدد الأضلاع. الفرق بين «المجموع» و«الزاوية الواحدة» هو أول ما ينبغي حسمه قبل التعويض.
هذا دليل للمراجعة في 2027 يتناول المضلعات المحدبة، مع أمثلة على حساب المجموع والزاوية المجهولة وعدد الأضلاع. لا نطبّق هذه الخطوات هنا على الأشكال النجمية أو الرسوم ذات الأضلاع المتقاطعة.
ما المقصود بالمضلع المحدب والمنتظم؟
المضلع شكل مستوٍ مغلق تحده قطع مستقيمة، وله ثلاثة أضلاع على الأقل. في المضلع المحدب تكون كل زاوية داخلية أقل من 180 درجة. أما المضلع المنتظم الذي نتناوله هنا، فهو محدب تتساوى أضلاعه وتتساوى زواياه الداخلية.
وجود خمسة أضلاع لا يعني أن الزوايا الخمس متساوية. لذلك يمكن أن تحسب مجموع زوايا خماسي محدب من عدد أضلاعه، لكن لا تقسم ذلك المجموع على خمسة لإيجاد كل زاوية إلا إذا كان تساوي الزوايا معلومًا، كما في الخماسي المنتظم.
قانون مجموع الزوايا الداخلية
المجموع بالدرجات = حاصل ضرب 180 في العدد الناتج من طرح 2 من عدد الأضلاع.
يمكن فهم القانون بتقسيم المضلع المحدب إلى مثلثات بواسطة أقطار من رأس واحد. الخماسي ينقسم إلى ثلاثة مثلثات، والسداسي إلى أربعة؛ وبصورة عامة يقل عدد هذه المثلثات باثنين عن عدد الأضلاع. ولأن مجموع زوايا المثلث 180 درجة، نضرب عدد المثلثات في 180.
- الخماسي: ثلاثة مثلثات، ومجموع زواياه 540 درجة.
- السداسي: أربعة مثلثات، ومجموع زواياه 720 درجة.
- الثماني: ستة مثلثات، ومجموع زواياه 1080 درجة.
- العشاري: ثمانية مثلثات، ومجموع زواياه 1440 درجة.
مثال: إيجاد زاوية مجهولة في خماسي
خماسي محدب قياسات أربع من زواياه هي 95 و110 و120 و105 درجات. لإيجاد الخامسة، نبدأ بالمجموع الصحيح للخماسي، وهو 540 درجة، ثم نجمع المعطيات: مجموع الزوايا الأربع 430 درجة. بطرح 430 من 540 نجد أن الزاوية المجهولة تساوي 110 درجات.
لم نفترض أن الخماسي منتظم. استعملنا مجموع زواياه فقط، ثم طرحنا الزوايا المعروفة. وهذه هي الخطوة المناسبة عندما يعطيك السؤال قياسات مختلفة لبعض الزوايا.
قياس الزاوية الواحدة في مضلع منتظم
بعد إيجاد المجموع، اقسمه على عدد الأضلاع لأن الزوايا متساوية. في التساعي المنتظم مثلًا، مجموع الزوايا 1260 درجة، وبقسمة هذا المجموع على تسعة يكون قياس الزاوية الواحدة 140 درجة. وفي الثماني المنتظم نقسم 1080 على ثمانية فنحصل على 135 درجة.
قارن صياغة سؤالين: «أوجد مجموع زوايا الثماني» إجابته 1080 درجة، بينما «أوجد زاوية الثماني المنتظم» إجابته 135 درجة. تغيير كلمة واحدة في المطلوب يغيّر العملية الأخيرة في الحل.
إيجاد عدد الأضلاع من مجموع الزوايا
للرجوع من المجموع إلى عدد الأضلاع، اقسم المجموع على 180، ثم أضف اثنين. إذا كان مجموع الزوايا الداخلية 1260 درجة، فالقسمة تعطي سبعة، وإضافة اثنين تعطي تسعة أضلاع. لا تحتاج إلى افتراض الانتظام في هذا المثال ما دام المضلع محدبًا.
إيجاد عدد الأضلاع من زاوية المضلع المنتظم
إذا كانت الزاوية الداخلية الواحدة 150 درجة، فالزاوية الخارجية المجاورة لها تساوي 30 درجة، لأنهما تكملان زاوية مستقيمة مقدارها 180 درجة. ولأن مجموع الزوايا الخارجية للمضلع المحدب، بأخذ واحدة عند كل رأس، يساوي 360 درجة، نقسم 360 على 30 فنحصل على 12 ضلعًا.
هذا الحل يعتمد على الانتظام حتى تكون الزوايا الخارجية متساوية. لا تستنتج عدد أضلاع مضلع غير منتظم من قياس زاوية واحدة فيه بهذه الطريقة.
مراجعة سريعة قبل تسليم الحل
حدد هل المطلوب مجموع أم زاوية واحدة أم عدد أضلاع، ثم افحص شرط الانتظام. اكتب وحدة الدرجة عند الزوايا، ولا تكتب السنتيمتر أو وحدة المساحة. وإذا حصلت على عدد أضلاع كسري، فارجع إلى المعطيات والتعويض؛ عدد الأضلاع يجب أن يكون عددًا صحيحًا لا يقل عن ثلاثة.
