محيط الدائرة هو طول الحد الذي يحيط بها، أما مساحتها فهي مقدار السطح داخل هذا الحد. لحساب المحيط نضرب القطر في العدد ط، أو نضرب نصف القطر في اثنين ثم في ط. ولحساب المساحة نضرب مربع نصف القطر في ط.
يقدم هذا الدليل للمراجعة في 2027 شرحًا للفرق بين القطر ونصف القطر، وطريقة اختيار القانون المناسب، مع مسائل محلولة وأخطاء متكررة. تستخدم الأمثلة العدد 3.14 تقريبًا للعدد ط، ما لم يُذكر غير ذلك.
الفرق بين نصف القطر والقطر والمحيط
نصف القطر مسافة مستقيمة من مركز الدائرة إلى أي نقطة على حدها. أما القطر فهو قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين على الحد وتمر بالمركز. لذلك يساوي القطر ضعفي نصف القطر، ويساوي نصف القطر نصف طول قطر الدائرة.
المحيط ليس خطًا مستقيمًا عبر الدائرة، بل هو المسافة عند السير حولها دورة كاملة. إذا طلبت المسألة طول شريط يحيط بقرص دائري فهي تسأل عن المحيط، وإذا طلبت مساحة وجه القرص فهي تسأل عن المساحة. هذا الفرق في المعنى يساعدك على تحديد القانون قبل التعويض بالأرقام.
ما العدد ط؟
العدد ط هو النسبة بين محيط الدائرة وقطرها. وتبقى هذه النسبة ثابتة مهما تغير حجم الدائرة. تبدأ قيمته بالعدد 3.14159265 وتستمر أرقامه، ولذلك نستخدم في الحساب المدرسي قيمة تقريبية مثل 3.14، أو نترك النتيجة بدلالة ط إذا طلب السؤال ذلك.
الكسر اثنان وعشرون على سبعة تقريب للعدد ط وليس مساويًا له تمامًا. اتبع القيمة المعطاة في المسألة، ولا تنتقل من تقريب إلى آخر وسط الحساب دون سبب؛ فقد تتغير النتيجة النهائية قليلًا بسبب اختلاف التقريب.
قانون محيط الدائرة
عندما تعرف القطر، احسب المحيط بضربه في ط. وعندما تعرف نصف القطر، اضربه في اثنين أولًا للحصول على القطر، ثم اضرب الناتج في ط. الطريقتان تعطيان النتيجة نفسها إذا استُخدمت البيانات نفسها.
- المحيط يساوي ط مضروبًا في القطر.
- المحيط يساوي اثنين مضروبًا في ط مضروبًا في نصف القطر.
- القطر يساوي المحيط مقسومًا على ط.
- نصف القطر يساوي المحيط مقسومًا على حاصل ضرب اثنين في ط.
تُكتب وحدة المحيط بوحدة طول عادية، مثل السنتيمتر أو المتر. لا تكتب مترًا مربعًا بعد نتيجة المحيط؛ لأنك تحسب طول الحد لا مساحة السطح.
مثال: حساب المحيط من نصف القطر
دائرة نصف قطرها 6 سنتيمترات. نضاعف نصف القطر فيصبح القطر 12 سنتيمترًا، ثم نضرب 12 في 3.14، فتكون النتيجة 37.68 سنتيمترًا تقريبًا. وإذا تركنا الإجابة بدلالة ط فإن المحيط يساوي 12 ط سنتيمترًا.
الخطأ المحتمل هنا هو ضرب 6 في 3.14 فقط. هذا الحساب يعامل نصف القطر على أنه قطر، فيعطي نصف المحيط الصحيح. اكتب بجوار كل معطى معناه قبل استخدامه: هل العدد لنصف القطر أم للقطر؟
قانون مساحة الدائرة
المساحة تساوي ط مضروبًا في مربع نصف القطر. ومعنى التربيع أن تضرب نصف القطر في نفسه، ثم تضرب الناتج في ط. إذا أعطاك السؤال القطر فلا تضعه مباشرة مكان نصف القطر؛ اقسمه على اثنين أولًا.
لدائرة نصف قطرها 5 أمتار، نضرب 5 في 5 فنحصل على 25، ثم نضرب 25 في 3.14. المساحة تساوي 78.5 مترًا مربعًا تقريبًا، أو 25 ط مترًا مربعًا. أما محيط الدائرة نفسها فيساوي 31.4 مترًا تقريبًا. لاحظ اختلاف القانون والوحدة بين النتيجتين.
مثال يجمع المحيط والمساحة من القطر
إذا كان قطر دائرة 12 سنتيمترًا، فنصف قطرها 6 سنتيمترات. محيطها يساوي حاصل ضرب 12 في 3.14، أي 37.68 سنتيمترًا تقريبًا. وللمساحة نربع نصف القطر، فيصبح 36، ثم نضربه في 3.14، فنحصل على 113.04 سنتيمترًا مربعًا تقريبًا.
استخدام القطر بدل نصف القطر في قانون المساحة يجعل المساحة الناتجة أربعة أمثال القيمة الصحيحة، لأن القطر ضعف نصف القطر وتربيع الضعف يعطي أربعة أمثال المربع. لذلك تعد خطوة استخراج نصف القطر مهمة حتى لو بدت المسألة قصيرة.
كيف نحسب نصف القطر إذا كان المحيط معلومًا؟
إذا كان محيط دائرة 62.8 مترًا، واستخدمنا ط تقريبًا 3.14، نقسم المحيط على 6.28، وهو حاصل ضرب اثنين في 3.14. نجد أن نصف القطر 10 أمتار، ومنه يكون القطر 20 مترًا.
راجع الإجابة بالتعويض العكسي: ضرب 20 في 3.14 يعيد المحيط 62.8 مترًا. هذه المراجعة تكشف نسيان القسمة على اثنين عند الانتقال من القطر إلى نصف القطر.
محيط نصف الدائرة: القوس وحده أم الشكل كله؟
نصف محيط الدائرة يعطي طول القوس لنصف الدائرة، لكنه لا يعطي محيط الشكل المغلق كاملًا. لحساب حدود نصف دائرة مغلقة نضيف طول القطر إلى طول القوس، لأن القطر جزء من حد الشكل.
إذا كان نصف القطر 4 سنتيمترات، فطول قوس نصف الدائرة يساوي 12.56 سنتيمترًا تقريبًا. والقطر 8 سنتيمترات، ولذلك يكون محيط الشكل المغلق 20.56 سنتيمترًا تقريبًا. اقرأ المطلوب بدقة: طول القوس يختلف عن طول جميع الحدود.
خطوات مراجعة الإجابة
- حدد المطلوب: محيط أم مساحة أم طول قوس؟
- ميز المعطى: قطر أم نصف قطر، وحوّله عند الحاجة.
- استخدم قيمة ط المطلوبة، أو وضح قيمة التقريب التي اخترتها.
- في المساحة اضرب نصف القطر في نفسه، وليس في اثنين.
- راجع الوحدة: طول للمحيط، ووحدة مربعة للمساحة.
أهم ما يختصر الحل هو فهم معنى القياس قبل حفظ القانون: المحيط يدور حول الدائرة، والمساحة تغطي داخلها، والقطر يمر بالمركز بين طرفيها، ونصف القطر يصل المركز بحدها.
