مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب طول القاعدة في الارتفاع العمودي عليها. أي اضرب القاعدة في الارتفاع، ثم اقسم الناتج على اثنين. والشرط الأهم أن يكون الارتفاع عموديًا على القاعدة المختارة، لا مجرد ضلع مائل يظهر بجوارها في الرسم.
هذا شرح للمراجعة في 2027 يبدأ بمعنى القاعدة والارتفاع، ثم يعرض أمثلة محلولة وطريقة إيجاد طول مجهول وأخطاء الوحدات. وهو يركز على قانون القاعدة والارتفاع، دون الدخول في القوانين التي تستخدم أطوال الأضلاع الثلاثة أو جيب الزاوية.
ما القاعدة وما الارتفاع في المثلث؟
يمكن اختيار أي ضلع من أضلاع المثلث قاعدةً، لكن لكل قاعدة ارتفاعًا يناسبها. والارتفاع هو المسافة العمودية من الرأس المقابل إلى خط القاعدة. لذلك لا يكفي أن يكون العدد مكتوبًا قريبًا من ضلع حتى نعده ارتفاعًا؛ يجب التأكد من علاقة التعامد.
اتجاه الرسم لا يغير هذه الفكرة. ليس ضروريًا أن تكون القاعدة مرسومة أفقيًا أسفل الصفحة، وليس الارتفاع دائمًا خطًا رأسيًا بالنسبة إلى الورقة. الذي يحدد الارتفاع هو الزاوية القائمة مع القاعدة، لا وضع الشكل في الكتاب.
لماذا نقسم على اثنين؟
يمكن تخيل نسخة ثانية مطابقة للمثلث تُضم إليه لتكوين متوازي أضلاع له القاعدة والارتفاع نفسيهما. مساحة متوازي الأضلاع تساوي حاصل ضرب القاعدة في الارتفاع، ولأن المثلث الواحد يمثل نصف الشكل الناتج، نقسم حاصل الضرب على اثنين.
هذه الفكرة تساعد على تذكر القانون: ناتج ضرب القاعدة في الارتفاع وحده ليس مساحة المثلث، بل ضعفها. لذلك إذا نسيت خطوة القسمة، حصلت على إجابة أكبر من الصحيحة بمرتين.
مثال محلول على مساحة مثلث
مثلث طول قاعدته 10 سنتيمترات وارتفاعه العمودي 6 سنتيمترات. نضرب 10 في 6، فيكون الناتج 60، ثم نقسم 60 على اثنين، فتكون المساحة 30 سنتيمترًا مربعًا.
اكتب الحل في ترتيب واضح: حدد المعطيات، ثم طبق القانون، ثم سجل وحدة المساحة. لا تكتب 30 سنتيمترًا فقط؛ فالسنتيمتر وحدة طول، بينما المطلوب هنا مساحة تُقاس بالسنتيمتر المربع.
مساحة المثلث القائم
في المثلث القائم يمكن استخدام ضلعي الزاوية القائمة قاعدةً وارتفاعًا، لأنهما متعامدان. فإذا كان طول أحدهما 8 سنتيمترات والآخر 5 سنتيمترات، نضرب 8 في 5 ليكون الناتج 40، ثم نقسم على اثنين، فنحصل على مساحة 20 سنتيمترًا مربعًا.
لا تستخدم الوتر بدل الارتفاع لمجرد أنه أطول أضلاع الشكل. ويمكن اختيار الوتر قاعدةً، لكن عندها تحتاج إلى الارتفاع العمودي عليه، لا إلى أحد ضلعي الزاوية القائمة بوصفه ارتفاعًا تلقائيًا.
كيف نجد الارتفاع إذا عُرفت المساحة؟
نضاعف المساحة أولًا، ثم نقسم الناتج على طول القاعدة. فإذا كانت مساحة المثلث 36 مترًا مربعًا وقاعدته 12 مترًا، نضاعف 36 فنحصل على 72، ثم نقسم 72 على 12، فيكون الارتفاع 6 أمتار.
ولإيجاد القاعدة بالطريقة نفسها، نضاعف المساحة ونقسم على الارتفاع. فإذا كانت المساحة 45 سنتيمترًا مربعًا والارتفاع 9 سنتيمترات، تصبح المساحة المضاعفة 90، وبقسمة 90 على 9 نجد أن القاعدة 10 سنتيمترات.
وحّد وحدات الطول قبل الحساب
إذا كانت القاعدة بالمتر والارتفاع بالسنتيمتر، فلا تضرب العددين مباشرة وكأنهما بالوحدة نفسها. مثلًا: قاعدة طولها متران وارتفاع طوله 50 سنتيمترًا. نحول الارتفاع إلى نصف متر، ثم نضرب اثنين في نصف فنحصل على واحد، ونقسم على اثنين لتكون المساحة نصف متر مربع.
ويمكن الحل بالسنتيمترات أيضًا: المتران يساويان 200 سنتيمتر، وحاصل ضرب 200 في 50 يساوي 10000، ونصفه 5000 سنتيمتر مربع. النتيجتان متساويتان؛ فالمتر المربع يساوي 10000 سنتيمتر مربع، وليس 100 سنتيمتر مربع.
الفرق بين المساحة والمحيط
المساحة تصف السطح داخل المثلث، أما المحيط فهو مجموع أطوال أضلاعه الثلاثة. ولا نستخرج المحيط بضرب القاعدة في الارتفاع، كما أن معرفة القاعدة والارتفاع تكفي لحساب المساحة بهذا القانون، لكنها لا تعني أننا عرفنا أطوال جميع الأضلاع.
تدريب سريع وإجابات للمراجعة
- قاعدة طولها 14 سنتيمترًا وارتفاع عمودي 3 سنتيمترات: المساحة 21 سنتيمترًا مربعًا.
- مثلث قائم ضلعاه المتعامدان 4 أمتار و7 أمتار: المساحة 14 مترًا مربعًا.
- مثلث مساحته 24 سنتيمترًا مربعًا وقاعدته 8 سنتيمترات: ارتفاعه 6 سنتيمترات.
قبل اعتماد أي إجابة، راجع ثلاث نقاط: هل اخترت الارتفاع العمودي المناسب للقاعدة؟ هل وحّدت وحدات الطول؟ وهل قسمت حاصل الضرب على اثنين وكتبت وحدة مربعة؟ هذه المراجعة تكشف معظم الأخطاء في مسائل القانون الأساسي.
