نظرية فيثاغورس من أشهر القوانين في الرياضيات، وتدرس في المرحلة المتوسطة، وتتكرر في اختبار القدرات والتحصيلي والمراحل الجامعية. وهي ليست مجرد قانون في الكتاب، بل أداة عملية يستخدمها النجارون والمهندسون وعمال البناء لحساب الأطوال والتأكد من استقامة الزوايا. في هذا الشرح نوضح القانون، وكيف تستخدمه لإيجاد أي ضلع، مع أمثلة محلولة وأخطاء شائعة.
نص النظرية
في أي مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين.
ج² = أ² + ب²
- ج: الوتر، وهو أطول ضلع، ويقابل الزاوية القائمة.
- أ وب: ضلعا الزاوية القائمة، ويسميان الساقين.
شرط مهم: النظرية تنطبق على المثلث القائم فقط.
كيف تحدد الوتر؟
ابحث عن رمز المربع الصغير الذي يدل على الزاوية القائمة 90°، والضلع المقابل له هو الوتر. ودائماً يكون الوتر أطول الأضلاع الثلاثة.
أولاً: إيجاد الوتر
ج = √(أ² + ب²)
مثال 1
مثلث قائم ضلعاه 3 سم و4 سم:
- ج² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
- ج = √25 = 5 سم.
مثال 2
ضلعان 6 سم و8 سم:
- ج² = 36 + 64 = 100
- ج = 10 سم.
مثال 3: ناتج غير صحيح
ضلعان 5 سم و7 سم:
- ج² = 25 + 49 = 74
- ج = √74 ≈ 8.60 سم.
ثانياً: إيجاد أحد الضلعين
إذا عرفت الوتر وأحد الضلعين: أ = √(ج² − ب²)
مثال 4
وتر طوله 13 سم وأحد الضلعين 5 سم:
- أ² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
- أ = 12 سم.
مثال 5
وتر 17 سم وضلع 15 سم:
- أ² = 289 − 225 = 64
- أ = 8 سم.
لاحظ أننا نطرح عند إيجاد الضلع، ونجمع عند إيجاد الوتر.
ثالثاً: هل المثلث قائم؟ (عكس النظرية)
إذا كان مربع أطول ضلع يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين، فالمثلث قائم الزاوية.
مثال 6
مثلث أضلاعه 7 و24 و25:
- 25² = 625
- 7² + 24² = 49 + 576 = 625
- متساويان، إذن المثلث قائم.
مثال 7
أضلاع 6 و7 و9: 9² = 81، و6² + 7² = 36 + 49 = 85. غير متساويين، إذن المثلث ليس قائماً. وبما أن 81 أقل من 85 فالزاوية الكبرى حادة.
الثلاثيات الفيثاغورسية
هي أعداد صحيحة تحقق النظرية، وحفظها يوفر وقتك في الاختبارات:
- 3، 4، 5 ومضاعفاتها: 6، 8، 10 و9، 12، 15.
- 5، 12، 13.
- 8، 15، 17.
- 7، 24، 25.
إذا رأيت مثلثاً قائماً ضلعاه 9 و12، فالوتر 15 مباشرة دون حساب.
تطبيقات من الحياة
طول السلم
سلم يستند على جدار، وقاعدته تبعد 2 م عن الجدار، ويصل إلى ارتفاع 4.8 م. طول السلم = √(2² + 4.8²) = √(4 + 23.04) = √27.04 = 5.2 م.
قطر الشاشة
شاشة عرضها 80 سم وارتفاعها 60 سم: القطر = √(6400 + 3600) = √10000 = 100 سم.
التأكد من زاوية الجدار
يقيس البنّاء 3 أمتار على جدار و4 أمتار على الجدار الآخر، فإن كانت المسافة بين النقطتين 5 أمتار بالضبط، فالزاوية قائمة.
أخطاء شائعة
- اعتبار أي ضلع وتراً؛ الوتر دائماً يقابل الزاوية القائمة.
- الجمع بدل الطرح عند إيجاد الضلع.
- نسيان أخذ الجذر التربيعي في النهاية.
- تطبيق النظرية على مثلث غير قائم.
- الخلط بين وحدات القياس، كسنتيمتر ومتر في المسألة نفسها.
أسئلة شائعة
هل يمكن أن يكون الضلع أطول من الوتر؟
لا، الوتر دائماً الأطول في المثلث القائم.
هل تنطبق النظرية على المثلث متساوي الأضلاع؟
لا مباشرة، لكن يمكن تقسيمه بارتفاعه إلى مثلثين قائمين وتطبيق النظرية على كل منهما.
تدرّب على الأمثلة السابقة واحفظ الثلاثيات الشهيرة، وستحل مسائل فيثاغورس بسرعة وثقة.
