النسبة والتناسب من أكثر موضوعات الرياضيات استخداماً في الحياة اليومية: حساب سعر كمية مختلفة، أو تعديل مقادير وصفة، أو قراءة مقياس رسم خريطة، أو تقدير مدة إنجاز عمل. وهي أيضاً من الأسئلة المتكررة في اختبار القدرات العامة. في هذا الشرح نوضح المفاهيم الأساسية، وطريقة الضرب التبادلي المعروفة بالقاعدة الثلاثية، والفرق المهم بين التناسب الطردي والعكسي.
ما هي النسبة؟
النسبة مقارنة بين كميتين من النوع نفسه بالقسمة، وتكتب بعدة أشكال: 2 إلى 3، أو 2:3، أو 2/3.
مثال
في فصل 12 طالباً و18 طالبة، نسبة الطلاب إلى الطالبات = 12:18، وبالقسمة على 6 تصبح 2:3.
تبسيط النسبة يشبه تبسيط الكسر: اقسم الطرفين على أكبر عامل مشترك.
ما هو التناسب؟
التناسب هو تساوي نسبتين: أ/ب = ج/د. مثلاً 2/3 = 4/6 تناسب صحيح.
وفي أي تناسب صحيح يكون حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين، أي: أ × د = ب × ج. وهذه الخاصية هي أساس الضرب التبادلي.
الضرب التبادلي (القاعدة الثلاثية)
إذا كان لديك ثلاثة أعداد معروفة ورابع مجهول في تناسب، فاتبع الخطوات:
- اكتب المعطيات في صفين، بحيث تكون الوحدات المتشابهة في عمود واحد.
- اضرب العددين المتقابلين قطرياً.
- اقسم الناتج على العدد الثالث.
مثال 1: الأسعار
3 كيلو برتقال بسعر 18 ريالاً، فكم سعر 5 كيلو؟
- 3 كيلو ← 18 ريالاً
- 5 كيلو ← س
- س = (5 × 18) ÷ 3 = 90 ÷ 3 = 30 ريالاً.
مثال 2: الوصفات
وصفة لـ4 أشخاص تحتاج 300 جرام أرز، فكم تحتاج لـ10 أشخاص؟
- س = (10 × 300) ÷ 4 = 750 جراماً.
مثال 3: مقياس الرسم
خريطة مقياسها 1 سم يمثل 5 كم، والمسافة بين مدينتين على الخريطة 7.4 سم:
- س = (7.4 × 5) ÷ 1 = 37 كم.
مثال 4: النسبة المئوية
حصلت على 42 درجة من 50، فكم نسبتك من 100؟
- س = (42 × 100) ÷ 50 = 84%.
التناسب الطردي
تكون العلاقة طردية عندما تزيد إحدى الكميتين فتزيد الأخرى بالنسبة نفسها، كالكمية والسعر، أو المسافة والوقود عند سرعة ثابتة. الأمثلة السابقة كلها طردية، ونستخدم فيها الضرب التبادلي مباشرة.
التناسب العكسي
تكون العلاقة عكسية عندما تزيد إحدى الكميتين فتنقص الأخرى، كعدد العمال ومدة إنجاز العمل، أو السرعة وزمن الرحلة. وفي هذه الحالة حاصل ضرب الكميتين ثابت.
مثال 5: العمال
6 عمال ينجزون عملاً في 10 أيام، ففي كم يوماً ينجزه 15 عاملاً بالكفاءة نفسها؟
- حجم العمل = 6 × 10 = 60 يوم عمل.
- المدة = 60 ÷ 15 = 4 أيام.
لو استخدمت الضرب التبادلي المباشر هنا لحصلت على 25 يوماً، وهي إجابة غير منطقية؛ فزيادة العمال يجب أن تقلل المدة.
مثال 6: السرعة والزمن
رحلة تستغرق 3 ساعات بسرعة 100 كم/ساعة، فكم تستغرق بسرعة 120 كم/ساعة؟
- المسافة = 100 × 3 = 300 كم.
- الزمن = 300 ÷ 120 = 2.5 ساعة.
كيف تميز الطردي من العكسي بسرعة؟
اسأل نفسك: إذا ضاعفت الكمية الأولى، هل تتضاعف الثانية أم تنقص للنصف؟ إن تضاعفت فالعلاقة طردية، وإن نقصت فهي عكسية. وتحقق دائماً من منطقية الإجابة.
توزيع مبلغ بنسبة
شريكان يوزعان ربحاً قدره 12,000 ريال بنسبة 3:5:
- مجموع الأجزاء = 3 + 5 = 8.
- قيمة الجزء = 12,000 ÷ 8 = 1,500 ريال.
- الأول: 3 × 1,500 = 4,500 ريال، والثاني: 5 × 1,500 = 7,500 ريال.
أخطاء شائعة
- ترتيب المعطيات بشكل خاطئ فتتقابل وحدات مختلفة.
- تطبيق الضرب التبادلي المباشر على علاقة عكسية.
- عدم توحيد الوحدات، كدقائق مع ساعات.
- نسيان تبسيط النسبة في الإجابة النهائية.
أسئلة شائعة
هل النسبة لها وحدة؟
لا، لأنها مقارنة بين كميتين من النوع نفسه فتلغى الوحدة.
هل يفيد هذا الدرس في القدرات؟
نعم، أسئلة التناسب والتوزيع بنسبة من الأنماط المتكررة في القسم الكمي.
بإتقان الخطوات الثلاث وتمييز الطردي من العكسي، تستطيع حل معظم مسائل التناسب في دقيقة.
