القاسم المشترك الأكبر هو أكبر عدد صحيح موجب يقسم عددين أو أكثر من دون باق. ويسمى أيضًا العامل المشترك الأكبر. فإذا أردت تقسيم مجموعتين إلى أكبر عدد من الحزم المتماثلة، من غير أن يتبقى شيء، فهذه إحدى المسائل التي يساعدك هذا المفهوم على حلها.
هذا شرح للمراجعة في 2027 بأمثلة أصلية وخطوات واضحة. نقتصر على الأعداد الصحيحة الموجبة، ونوضح طريقتين للحل: كتابة القواسم، والتحليل إلى عوامل أولية. اختر الطريقة التي تسمح لك بمراجعة الحل، لا التي تحفظ خطواتها من غير فهم.
ما معنى قاسم ومشترك وأكبر؟
القاسم عدد نقسم عليه فنحصل على عدد صحيح بلا باق. فالعدد ستة قاسم لأربعة وعشرين لأن الناتج أربعة. أما كلمة مشترك فتعني أن العدد يقسم كل الأعداد المطلوبة، لا واحدًا منها فقط.
قد توجد قواسم مشتركة عديدة. كلمة أكبر هي التي تحدد الإجابة النهائية؛ فوجود اثنين في قائمتي القواسم لا يعني التوقف عنده إذا كان هناك قاسم مشترك أكبر منه.
الطريقة الأولى: سرد القواسم
لنبحث عن القاسم المشترك الأكبر للعددين 24 و36. اكتب القواسم الموجبة لكل عدد كاملة، ثم قارن القائمتين:
- قواسم 24: 1، 2، 3، 4، 6، 8، 12، 24.
- قواسم 36: 1، 2، 3، 4، 6، 9، 12، 18، 36.
- المشترك: 1، 2، 3، 4، 6، 12.
أكبر هذه القواسم هو 12. وللتحقق، نقسم 24 على 12 فنحصل على اثنين، ونقسم 36 عليه فنحصل على ثلاثة. القسمة بلا باق تثبت أنه مشترك، ومقارنة القوائم الكاملة تثبت أنه الأكبر.
الطريقة الثانية: التحليل إلى عوامل أولية
في مثال 84 و126، يمكن كتابة 84 على صورة حاصل ضرب اثنين في اثنين في ثلاثة في سبعة. و126 هو حاصل ضرب اثنين في ثلاثة في ثلاثة في سبعة.
- حلل كل عدد تحليلًا كاملًا إلى أعداد أولية.
- طابق العوامل المتساوية بين التحليلين.
- خذ من كل عامل عدد مرات ظهوره المشترك فقط.
- اضرب العوامل التي أخذتها لتحصل على الإجابة.
العوامل المشتركة هنا هي اثنان وثلاثة وسبعة، مرة واحدة لكل منها. حاصل ضربها 42، وهو القاسم المشترك الأكبر. لا نأخذ الاثنين الثاني الموجود في 84، ولا الثلاثة الثاني الموجود في 126، لأن أيًا منهما ليس له مقابل آخر في العدد الثاني.
انتبه إلى تكرار العامل
العدد 16 يساوي حاصل ضرب أربعة عوامل، كل منها اثنان. والعدد 40 يساوي حاصل ضرب اثنين في اثنين في اثنين في خمسة. توجد ثلاثة عوامل من العدد اثنين في كلا التحليلين، فنضربها لنحصل على ثمانية.
اختيار اثنين مرة واحدة فقط يعطي قاسمًا مشتركًا، لكنه لا يعطي الأكبر. أما أخذ العوامل الأربعة من تحليل 16 فيعطي 16، وهو لا يقسم 40 بلا باق.
مسألة حزم متساوية
لديك 18 قلمًا و30 ممحاة، وتريد أكبر عدد من الحزم المتماثلة باستخدامها كلها. نبحث عن أكبر عدد يقسم الكميتين، وهو ستة. عندئذ تحتوي كل حزمة على ثلاثة أقلام وخمس ممحايات.
الستة هنا عدد الحزم، وليست عدد الأدوات داخل كل حزمة. لذلك اقرأ ما يطلبه السؤال بعد الحساب، ثم اكتب الوحدة التي تناسب الإجابة.
حالات سريعة وتدريب
للعددين ثمانية وخمسة عشر قاسم مشترك موجب واحد فقط، هو الواحد، فتكون الإجابة واحدًا. وإذا كان أحد العددين يقسم الآخر، مثل 12 و36، فالقاسم المشترك الأكبر هو العدد الأصغر، أي 12.
وفي سؤال يضم ثلاثة أعداد، يجب أن يقسم الناتج الأعداد الثلاثة جميعًا. جرّب 18 و30 و42: الإجابة ستة، إذ تقبل الأعداد الثلاثة القسمة عليه، ولا يوجد قاسم مشترك أكبر منه.
راجع في النهاية ثلاثة أمور: هل كتبت قواسم بدل المضاعفات؟ هل اشتركت الإجابة بين كل الأعداد؟ وهل اخترت الأكبر فعلًا؟ بهذه المراجعة تميز بين صحة القسمة وصحة الإجابة عن المطلوب.
