مساحة المعين تساوي نصف حاصل ضرب طولي قطريه. ويمكن حسابها أيضا بضرب طول القاعدة في الارتفاع العمودي عليها. اختيار القانون لا يعتمد على شكل الرسم وحده، بل على الأطوال المعطاة: هل لديك القطران، أم ضلع يصلح قاعدة مع الارتفاع المقابل له؟
هذا شرح للمراجعة في 2027 بأمثلة أصلية وخطوات تساعد على التمييز بين القطر والضلع والارتفاع. ابدأ بقراءة أسماء القياسات قبل إجراء أي عملية؛ فكثير من الأخطاء ينتج من اختيار طول غير مناسب، لا من خطأ في الضرب نفسه.
ما المعين وما المقصود بالقطر؟
المعين شكل رباعي تتساوى أطوال أضلاعه الأربعة، وهو حالة خاصة من متوازي الأضلاع. أما القطر فهو القطعة التي تصل بين رأسين غير متجاورين، وليس أحد الأضلاع المحيطة بالشكل. وللمعين قطران يتعامدان وينصف كل منهما الآخر.
لا يشترط أن يكون القطران متساويين. وقد يظهر أحدهما أطول من الآخر في الرسم. والمربع حالة خاصة من المعين ذات زوايا قائمة؛ لذلك لا تجعل المظهر المائل شرطا وحيدا للتعرف على المعين، ولا تستنتج القياسات من زاوية تصوير الشكل.
الحساب باستخدام القطرين
- حدد طول كل قطر كامل، لا طول نصفه فقط.
- تأكد من أن الطولين بوحدة واحدة.
- اضرب الطولين، ثم اقسم حاصل الضرب على اثنين.
- اكتب الناتج بوحدة مربعة، لأن المطلوب مساحة.
مثال: معين طول قطريه 14 سنتيمترا و8 سنتيمترات. حاصل ضربهما 112، ونصف هذا العدد 56؛ إذن المساحة 56 سنتيمترا مربعا. الناتج 112 وحده لا يمثل مساحة هذا المعين، لأن خطوة التنصيف لم تنفذ بعد.
لماذا نأخذ نصف حاصل الضرب؟
يمكن فهم القانون بتقسيم المعين إلى المثلثات الناتجة عن رسم قطريه المتعامدين. وبإعادة ترتيب هذه الأجزاء، أو مقارنة مساحتها بالمستطيل الذي يرتبط بعدَي القطرين، نصل إلى أن مساحة المعين تعادل نصف مساحة مستطيل طولا ضلعيه هما طولا القطرين.
هذه الفكرة لا تعني أن المعين مستطيل أو أن أضلاعه تساوي أقطاره. إنها طريقة لفهم علاقة المساحات، بينما تبقى أسماء الأطوال مختلفة ويجب المحافظة عليها عند التعويض.
إذا أعطاك السؤال نصف القطر
لأن القطرين ينصف كل منهما الآخر، فإن المسافة من نقطة تقاطعهما إلى رأس من رؤوس المعين تساوي نصف القطر المعني. فإذا كان نصف القطر الأول 5 سنتيمترات ونصف الثاني 3 سنتيمترات، يصبح القطران الكاملان 10 و6 سنتيمترات، وتكون المساحة 30 سنتيمترا مربعا.
لا تضرب 5 في 3 ثم تقسم على اثنين وتعتبر المسألة منتهية؛ فأنت استخدمت نصفَي القطرين بدلا من القطرين الكاملين. ارسم علامة على نقطتي نهاية كل قطر إذا شعرت بأن الأرقام في الشكل متداخلة.
الحساب بالقاعدة والارتفاع
عندما تكون القاعدة والارتفاع العمودي عليها معلومين، اضربهما مباشرة دون قسمة على اثنين. مثال: معين طول ضلعه المختار قاعدة 9 سنتيمترات، وارتفاعه المقابل 7 سنتيمترات؛ مساحته 63 سنتيمترا مربعا.
الارتفاع هنا هو المسافة العمودية بين القاعدة والضلع المقابل لها، وليس طول الضلع المائل. لذلك لا تحسب مساحة المعين بتربيع طول ضلعه تلقائيا؛ معرفة الضلع وحده لا تحدد المساحة في الحالة العامة.
إيجاد قطر مجهول من المساحة
إذا كانت المساحة 72 سنتيمترا مربعا وأحد القطرين 12 سنتيمترا، فضاعف المساحة أولا لتحصل على 144، ثم اقسم على القطر المعلوم. القطر الآخر يساوي 12 سنتيمترا. وللتحقق، نصف حاصل ضرب 12 في 12 يساوي 72.
تدريب يراجع اختيار القانون
معين قطراه 18 و4 سنتيمترات: مساحته 36 سنتيمترا مربعا. ومعين قاعدته 8 وارتفاعه 6 سنتيمترات: مساحته 48 سنتيمترا مربعا. الفرق ليس في الأعداد فقط؛ المسألة الأولى تعتمد على القطرين، والثانية على قاعدة وارتفاع. اكتب نوع كل قياس، ثم اختر القانون، ثم راجع وحدة الناتج.
